Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位；點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，
①試分別寫出這時(shí)點(diǎn)Q在OC上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，不要求寫出t的取值范圍）；
②求t為何值時(shí)，PQ∥OC？
（2）如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，
①試用含t的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程和它的速度；
②試問：這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如有可能，求出相應(yīng)的t的值和P、Q的坐標(biāo)；如不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)Q在OC上時(shí)的坐標(biāo)；根據(jù)路程即可求得點(diǎn)Q在CB上時(shí)的橫坐標(biāo)是（2t-5），縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一致，是3；
②顯然此時(shí)Q在CB上，由平行四邊形的知識(shí)可得，只需根據(jù)OP=CQ列方程求解；
（2）①設(shè)Q的速度為v，根據(jù)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，即可建立函數(shù)關(guān)系式；
②顯然Q應(yīng)在CB上，根據(jù)面積和①中的結(jié)論得到關(guān)于t的方程，進(jìn)行求解．

解答：解：（1）①點(diǎn)Q在OC上時(shí)Q（

8

5

t，

6

5

t）
點(diǎn)Q在CB上時(shí)Q（2t-5，3）．
②顯然Q在CB上，由平行四邊形的知識(shí)可得，只須OP=CQ
所以2t-5=t得t=5．

（2）①設(shè)Q的速度為v，先求梯形的周長為32，可得t+vt=16，
所以v=

16-t

t

，
點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程為（16-t）．
②能．
顯然Q應(yīng)在CB上，梯形的面積為（10+14）×3÷2=36，t秒Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為2t，
則BQ=11-（2t-5）=16-2t，AP=14-t，
可得

[(14-t)+(16-2t)]•3

2

=18，
解得t=6，
則BQ=4，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（10，3）；
AP=8，P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：能夠熟練根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和路程=速度×?xí)r間解決這類運(yùn)動(dòng)的問題．