Question

在△ABC中，AB=AC，點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．
（1）如圖1，若點P在BC邊上，此時PD=0，易證PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系是PD+PE+PF=AB；當(dāng)點P在△ABC內(nèi)時，先在圖2中作出相應(yīng)的圖形，并寫出PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的結(jié)論；
（2）如圖3，當(dāng)點P在△ABC外時，先在圖3中作出相應(yīng)的圖形，然后寫出PD，PE，PF與AB滿足的數(shù)量關(guān)系．（不用說明理由）

Answer 1

解：（1）結(jié)論是PD+PE+PF=AB，
證明：過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PEAF是平行四邊形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵M(jìn)N∥CB，DF∥AB，
∴四邊形BDPM是平行四邊形，
∴MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．

（2）如圖3，利用（1）中證明方法，即可得出：結(jié)論PE+PF-PD=AB．
分析：（1）過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，證平行四邊形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠B=∠C=∠EPM，推出PE=ME，再推出MB=PD即可；
（2）過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是熟練地運用性質(zhì)進(jìn)行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好．