Question

（2006•自貢）如圖，在直角三角形PMN中，∠MPN=90°，PM=PN=6 cm，矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為6 cm和3 cm，C點(diǎn)和P點(diǎn)重合，BC和PN在一條直線上．令Rt△PMN不動(dòng)，矩形ABCD向右以每秒1 cm的速度移動(dòng)，直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止．設(shè)移動(dòng)x秒后，矩形ABCD與△PMN重合部分的面積為y cm²．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求重合部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形的右移過程中，它和Rt△PMN之間重疊部分有兩種情況：
①當(dāng)C由P點(diǎn)移動(dòng)到G點(diǎn)，D點(diǎn)落在MN上的F點(diǎn)的過程中，重疊部分的圖形是矩形，此時(shí)只要根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算重疊部分的面積即可．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)不難判斷出x的取值范圍0＜x≤3．
②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，則重疊部分是五邊形，這時(shí)只要用大三角形的面積減去兩個(gè)小三角形的面積即可．
（2）根據(jù)y與x之間的表達(dá)式可直接判斷出重合部分面積的最大值．
解答：解：（1）在矩形的右移過程中，它和Rt△PMN之間重疊部分有兩種情況：（1分）
①如圖1，當(dāng)C由P點(diǎn)移動(dòng)到G點(diǎn)，D點(diǎn)落在MN上的F點(diǎn)的過程中，重疊部分的圖形是矩形，
由于△MPN是等腰Rt△，
所以△MEF也是等腰Rt△．（2分）
PC=x，MP=6，EF=ME=3
∴y=PC•CD=3x（O≤x≤3）（3分）
②如圖2，當(dāng)C是由G點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)的過程中，即3＜x≤6時(shí)，設(shè)CD與MN交于點(diǎn)Q，則重疊部分是五邊形EFQCP△NCQ是等腰Rt△（4分）
y=-（x-6）²+（3＜x≤6）
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
y=

（2）當(dāng)x=6時(shí)（即c與N重合時(shí)），y取得最大值（即重疊部分面積最大），其值為．
另解：直接由圖形知當(dāng)C與N重合時(shí)，該重疊部分面積最大，而此時(shí)重疊部分為梯形EPNF，可求得S_梯形EPNF=．
點(diǎn)評(píng)：此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是注意矩形在移動(dòng)過程中的兩種情形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算x的取值范圍．