Question

如圖，點(diǎn)F是△ABC中AC邊上的中點(diǎn)，AD∥BC，DF交AB于E，交BC延長(zhǎng)線于G，
（1）若BE：AE=3：1，BC=8，求BG的長(zhǎng)；
（2）若∠1=∠2，試證：FC²=FE•FD．

Answer 1

（1）解：∵AD∥BC，AF=FC，
∴△ADF≌△CGF，
∴AD=CG，F(xiàn)G=FD，
又∵BE：AE=3：1，AD∥BC，
∴BG=3AD，
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；

（2）證明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG，
又∵∠AFE=∠GFC，
∵AF=FC，
∴△AFE∽△GFC，
∴=，
即=，
∴FC²=FE•FD．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC，點(diǎn)F是AC邊上的中點(diǎn)，可證△ADF≌△CGF，得AD=CG，再由BE：AE=3：1及AD∥BC，得BG=3AD，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG；
（2）由∠1=∠2，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得∠AEF=∠FCG，又對(duì)頂角∠AFE=∠GFC，可證△AFE≌△GFC，利用相似比證題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用平行線，中點(diǎn)，等角的補(bǔ)角相等，推出全等和相似三角形．