Question

（2008•莆田質(zhì)檢）（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°，請(qǐng)猜測(cè)并寫出線段DF、BE、EF之間的等量關(guān)系（不必證明）；
（2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠EAF=∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關(guān)系又如何？請(qǐng)加以證明；
（3）應(yīng)用：在條件（2）中，若∠BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如圖3），求此時(shí)△CEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)論雖然沒有要求證明，從探求線段DF、BE、EF之間的等量關(guān)系可知，證明EF=BE+DF，需要將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，構(gòu)成△AME再尋找它與△AFE全等的條件；以此為啟發(fā)，圖（2），（3）用類似方法可解．
解答：解：（1）EF=BE+DF．

（2）EF=BE+DF．
證明：延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∠1=∠D，
又∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADF．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AME≌△AFE．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（3）連接AC，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．
∴在Rt△ABC中，
BC=ABtan60°=，
由（2）得EF=BE+DF．
∴△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF=2BC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查用旋轉(zhuǎn)法證明全等三角形、同時(shí)考查了正方形和四邊形的有關(guān)知識(shí)．注意對(duì)三角形全等和解直角三角形的綜合應(yīng)用．