精英家教網(wǎng)已知:如圖,在⊙O的內(nèi)接等邊三角形ABC中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的弦與BC和弧
BC
分別相交于點(diǎn)D和P,連接PB、PC.
(1)寫(xiě)出圖中所有的相似三角形:
 
;
(2)求證:PA2=BC2+PB•PC.
分析:(1)利用同弧所對(duì)的圓周角相等,證得角相等,即可證得相似三角形;
(2)利用相似三角形的性質(zhì)求得即可.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:△ADB∽△CDP,△ADC∽△BDP,△ABD∽△APB,
△ADC∽△ACP,△BDP∽△ACP,△APB∽△CPD;

(2)證明:∵△ADC∽△BDP
AD
BD
=
AC
BP

∴AD=
AC•BD
BP

∵△ADB∽△CDP
AB
CP
=
BD
PD

∴PD=
CP•BD
AB

∴PA=AD+PD=
AC•BD
BP
+
CP•BD
AB
=
(BC2+BP•CP)•BD
BC•BP

PA•BC•BP
BD
=BC2+BP•CP

∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
PA
AB
=
PB
BD

即PA=
BC•BP
BD

∴PA2=BC2+PB•PC
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及比例變形.此題有一定難度,解題要細(xì)心.
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