Question

拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，并且點(diǎn)B在A的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）判斷△OBC與△OCA是否相似，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和同高不等底的三角形的底的數(shù)量關(guān)系列等式解答；
（2）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到三角形各邊長，計(jì)算兩三角形直角邊是否成比例即可．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0），（x₂，0），△=4（m+）²＞0，C（0，2m+2）是y軸正半軸上的點(diǎn)，
則2m+2＞0，即m＞-1，
又x₁+x₂=4（m+）＞0，
x₁x₂=4（m+1）＞0，
∴x₂＞x₁＞0，
由S_△ABC=3S_△OAC得S_△OBC=4S_△OAC，
∴x₂=4x₁，
與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立可得，（m+1）²=m+1，
解得，m₁=0，m₂=-．
對應(yīng)的拋物線解析式為y=x²-x+2，y=x²-x+．

（2）當(dāng)m=0時(shí)，拋物線解析式為y=x²-x+2，
可得A（1，0），B（4，0），C（0，2）．
故=；==；
故△AOC∽△COB．
當(dāng)m=-時(shí)，
可得A（，0），B（1，0），C（0，）．
==2；==；=8；
故△AOC與△COB不相似．
點(diǎn)評：此題考查了拋物線的相關(guān)知識，綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識，可判定對應(yīng)方程根的符號特征、兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵．對于（1），建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對于（2）依m(xù)的值分類討論．