Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫P，Q兩點(diǎn)間的“平面距離”，記作d（P，Q）。

（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿足d（O，M）=l，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。答： ________；

（2）設(shè)P0（x0，y0）是平面上一點(diǎn)，Q0（x，y）是直線l：y=kx+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們定義d（P0，Q0）的最小值叫做P0到直線l的“平面距離”。試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的“平面距離”。

（3）在上面的定義基礎(chǔ)上，我們可以定義平面上一條直線l與⊙C的“直角距離”：在直線l與⊙C上各自任取一點(diǎn)，此兩點(diǎn)之間的“平面距離”的最小值稱為直線l與⊙O的“平面距離”，記作d（l，⊙C）。

試求直線y=x+2與圓心在直角坐標(biāo)系原點(diǎn)、半徑是1的⊙O的直角距離d（l，⊙O）=__________。（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）

（2）點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的平面距離為3；

（3）d（l，⊙O）=2-

【解析】分析：（1）根據(jù)題中所給出的兩點(diǎn)的平面距離公式即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），再由兩點(diǎn)的平面距離公式即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)題意得出關(guān)于x的式子，再由絕對(duì)值的幾何意義即可得出結(jié)論．

本題解析：（1）（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）

（2）設(shè)Q0（x，y）為直線y=x+2上任意一點(diǎn)，

∵d（M，Q0）=|x-2|+|y-1|

=|x-2|+|x+2-1|

=|x-2|+|x+l|

∵x可取一切實(shí)數(shù)，|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3。

∴點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的平面距離為3。

（3）d（l，⊙O）=2-。