Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)，另有一次函數(shù)的圖象．

（1）若，判斷函數(shù)的圖象與線段是否有交點(diǎn)？請說明理由．

（2）當(dāng)時，函數(shù)圖象與線段有交點(diǎn)，求k的取值范圍．

（3）若，求證：函數(shù)圖象一定經(jīng)過線段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）沒有；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）求出當(dāng)x=1和x=3時，對應(yīng)的y的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷即可；

（2）函數(shù)y=kx+12與線段AB有交點(diǎn)，極限情況是函數(shù)y=kx+12過A點(diǎn)或B點(diǎn)，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；

（3）先求出線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)的解析式，驗(yàn)證即可．

（1）當(dāng)x=1時，y=k+b=1+2=3＞2，當(dāng)x=3時，y=3k+b=5．

∵y=x+2中y隨x的增大而增大，∴當(dāng)1＜x＜3時，3＜y＜5，∴函數(shù)y=x+2與線段AB沒有交點(diǎn)；

（2）∵函數(shù)y=kx+12與線段AB有交點(diǎn)，∴極限情況是函數(shù)y=kx+12過A點(diǎn)或B點(diǎn)．

∴當(dāng)函數(shù)y=kx+12過A點(diǎn)時，2=k+12，解得：k=-10，

當(dāng)函數(shù)y=kx+12過B點(diǎn)時，2=3k+12，解得：k=，

∴．

（3）∵A（1，2），B（3，2），∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

當(dāng)b=-2k+2時，y=kx+b=kx-2k+2，x=2時，y=2k-2k+2=2，∴函數(shù)y=kx+b過（2，2），

∴函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象一定經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)．