Question

【題目】將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經過點C，且與AD交于點 E，分別連接EB，EC．

（1）求證：EC平分∠AEB；

（2）求 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）設AB與CE交于點M．根據角平分線的性質得出．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例得出 ，進而求出

(1)證明：∵Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，

∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB；

(2)如圖，設AB與CE交于點M.

∵EC平分∠AEB，

∴.

在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB為直徑的圓經過點E，

∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE=，

∴AE=BE，

∴.

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G.

在△AFM與△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，

∴△AFM∽△BGM，

∴，

∴.