Question

如圖，點A（3，n）在雙曲線y=上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C．線段OA的垂直平分線交OC于點B，
（1）求n的值；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）為雙曲線上y=的三點，且x₁＜x₂＜0＜x₃，請直接寫出y₁，y₂，y₃的大小關系式；
（3）求AB的長．

Answer 1

解：（1）把A（3，n）代入y=得n==1，
即n的值為1；

（2）y₁，y₂，y₃的大小關系式為y₂＜y₁＜y₃；

（3）設OB=a，則BC=3-a，
∵線段OA的垂直平分線交OC于點B，
∴AB=OB=a，
在Rt△ABC中，AC=1，AB=a，BC=3-a，
∴AB²=BC²+AC²，即a²=（3-a）²+1²，解得a=，
∴AB=．
分析：（1）把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求得n的值；
（2）由于k=3＞0，反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小，則當x₁＜x₂＜0＜x₃，y₂＜＜y₁＜0，y₃＞0；
（3）設OB=a，則BC=3-a，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=OB=a，然后利用勾股定理得到a²=（3-a）²+1²，再解方程即可．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)y=圖象上的點滿足其解析式；當k＞0，反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小；利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得到線段之間的相等關系，運用勾股定理可進行幾何計算．