Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)．

（）試證明：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有≌．

（）若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再繼續(xù)在上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)以每秒單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)恰為等腰三角形，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為， ， ．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)SAS證明即可；（2）分別討論當(dāng)AD=DQ，AD=AQ，AQ=DQ三種情況.

解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAC=∠BAC，

在△ADQ和△ABQ中，AD=AB，∠DAC=∠BAC，AQ=AQ，∴△ADQ≌△ABQ.

（2）①如圖①中，當(dāng)AQ=DQ時(shí)，∠QDA=∠QAD=45°，則點(diǎn)Q為正方形ABCD的中心，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=4÷1=4（s）；

②圖②中，當(dāng)AQ=AD時(shí)，則∠ADQ=∠AQD，

∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，∴AC，

∴CQ=AC-AQ=，

∵AD∥BC，∴∠CPQ=∠ADQ，

∴∠CPQ=∠AQD=∠CQP，∴CP=CQ=，

∴BP=，

∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=（4+8-）÷1．

（3）如圖③，當(dāng)AD=DQ時(shí)，點(diǎn)C，P，Q三點(diǎn)重合，

此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3=（4+4）÷1=8（s）．

綜上，當(dāng)△ADQ恰為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間可以為4s， ，8s．