Question

在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3cm的速度移動，點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2cm的速度移動，設運動時間為t秒．
（1）求四邊形ABPQ為矩形時t的值；
（2）若題設中的“BC=18cm”改變?yōu)椤癇C=kcm”，其它條件都不變，要使四邊形PCDQ是等腰梯形，求t與k的函數(shù)關系式，并寫出k的取值范圍；
（3）在移動的過程中，是否存在t使P、Q兩點的距離為10cm？若存在求t的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H，根據勾股定理求出HC，根據矩形的性質得出12-2t=3t，求出即可；
（2）過點Q作QG⊥BC，垂足為點G，求出PG，根據BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可；
（3）有兩種情況：①由（2）可以得出3t+6+2t+6=18，求出即可；②四邊形PCDQ是平行四邊形，根據BP+PC=BC，代入求出即可．
解答：解：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H，
由題意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10，
∴HC=，
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18，
∴AD=BH=12，
若四邊形ABPQ是矩形，則AQ=BP，
∵AQ=12-2t，BP=3t，
∴12-2t=3t
∴（秒），
答：四邊形ABPQ為矩形時t的值是．


（2）由（1）得CH=6，
如圖1，再過點Q作QG⊥BC，垂足為點G，
同理：PG=6，
易知：QD=GH=2t，
又BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，
∴，
∴k的取值范圍為：k＞12cm，
答t與k的函數(shù)關系式是t=，k的取值范圍是k＞12cm．

（3）假設存在時間t使PQ=10，有兩種情況：
①如圖2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴，
②如圖3：四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴QD=PC=2t，
又BP=3t，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴（秒），
綜上所述，存在時間t且秒或秒時P、Q兩點之間的距離為10cm，
答：在移動的過程中，存在t使P、Q兩點的距離為10cm，t的值是秒或秒．
點評：本題主要考查對矩形的性質，平行四邊形的性質，梯形的性質，等腰梯形的性質，解一元一次方程，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．