Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F，作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)G，設(shè)BP=x．
（1）試判斷BG與2BP的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）用x的代數(shù)式表示線段DG的長(zhǎng)，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）PG⊥AB，則在直角△BGP中，根據(jù)∠BGP=30°，可得BG=2BP；
（2）BG=2BP，BD=

1

2

BC=1，則DG=2x-1，根據(jù)點(diǎn)G在線段CD上，所以求G與D、C重合時(shí)x的值即可確定自變量x的取值范圍，即可解題．

解答：解：（1）∵PG⊥AB
∴△BPG為直角三角形，
∵∠BGP=90°-∠B=30°，
∴BG•sin∠BGP=BP，
即BG=2BP；

（2）∵BG=2BP，BD=

1

2

BC=1，
∴DG=2x-1，
∵點(diǎn)G在線段CD上，
∴求G與D、C重合時(shí)x的值即可確定自變量x的取值范圍，
當(dāng)G與D點(diǎn)重合時(shí)，BG=

1

2

BC=1，∴2x-1=0，即x=

1

2

，
當(dāng)G與C點(diǎn)重合時(shí)，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范圍為

1

2

≤x≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形中特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用，一元一次不等式的求解，本題中分別求G與D、C重合時(shí)x的值是解題的關(guān)鍵．