Question

已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=AC，若∠DAC=30°，試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析：作BE⊥BC，AE⊥AC，兩線相交于點(diǎn)E，則四邊形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等邊三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，
所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD；

解答：解：BD=CD．
證明：作BE⊥BC，AE⊥AC，兩線相交于點(diǎn)E，
∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，
∴四邊形AEBC是正方形，
∵∠DAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AC，
∴AD=AE，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEB=30°，
在△ADC和△EDB中，

AD=ED ∠DAC=∠DEB=30° AC=BE

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BD=CD．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建正方形，通過證明三角形全等得出線段相等，是解答本題的基本思路．