Question

【題目】在平面直角坐標系中點、分別是軸、軸上的點且點的坐標是，．點在線段上，是靠近點的三等分點．點是軸上的點，當是等腰三角形時，點的坐標是__________．

Answer 1

【答案】（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2）

【解析】

根據(jù)條件可得AC=2，過點C作CD⊥OA，由勾股定理得到OC=，再分以下三種情況求解：①當OP=OC時，可直接得出點P的坐標為（0，）或（0，-）；②當PO=PC時，點P在OC的垂直平分線PE上，先求出直線OC的解析式，從而可求出直線PE的解析式，最后可求得P（0，-）；③當CO=CP時，根據(jù)OP=2|yC|=2×1=2，求得P（0，-2）．

解：∵點B坐標是（0，-3），∠OAB=30°，
∴AB=2×3=6，AO=3，
∵點C在線段AB上，是靠近點A的三等分點，
∴AC=2，
過點C作CD⊥OA于D，

∴CD=AC＝1，
∴AD=CD=，
∴OD=OA-AD=3-=2，
∴OC=．

∵△OCP為等腰三角形，分以下三種情況：
①當OP=OC=時，點P的坐標為（0，）或（0，-）；
②當PO=PC時，點P在OC的垂直平分線PE上，其中E為OC的中點，

∴點E的坐標為(，-），

設直線OC的解析式為y=k1x，將點C（2，-1）代入得k1=-，

則可設直線PE的解析式為y=k2x+b，則k1·k2=-1，∴k2=2，

∴將點E(，-）代入y=2x+b，得b=-，
∴P(0，)，
③當CO=CP時，OP=2|yC|=2×1=2，
∴P（0，-2），
綜上所述，當△OCP為等腰三角形時，點P的坐標為（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2），
故答案為：（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2）．