Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)、分別是軸、軸上的點(diǎn)且點(diǎn)的坐標(biāo)是，．點(diǎn)在線段上，是靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．

Answer 1

【答案】（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2）

【解析】

根據(jù)條件可得AC=2，過點(diǎn)C作CD⊥OA，由勾股定理得到OC=，再分以下三種情況求解：①當(dāng)OP=OC時(shí)，可直接得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，-）；②當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的垂直平分線PE上，先求出直線OC的解析式，從而可求出直線PE的解析式，最后可求得P（0，-）；③當(dāng)CO=CP時(shí)，根據(jù)OP=2|yC|=2×1=2，求得P（0，-2）．

解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)是（0，-3），∠OAB=30°，
∴AB=2×3=6，AO=3，
∵點(diǎn)C在線段AB上，是靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，
∴AC=2，
過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，

∴CD=AC＝1，
∴AD=CD=，
∴OD=OA-AD=3-=2，
∴OC=．

∵△OCP為等腰三角形，分以下三種情況：
①當(dāng)OP=OC=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，-）；
②當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的垂直平分線PE上，其中E為OC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，-），

設(shè)直線OC的解析式為y=k1x，將點(diǎn)C（2，-1）代入得k1=-，

則可設(shè)直線PE的解析式為y=k2x+b，則k1·k2=-1，∴k2=2，

∴將點(diǎn)E(，-）代入y=2x+b，得b=-，
∴P(0，)，
③當(dāng)CO=CP時(shí)，OP=2|yC|=2×1=2，
∴P（0，-2），
綜上所述，當(dāng)△OCP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2），
故答案為：（0，）或（0，-）或（0，-）或（0，-2）．