Question

已知一拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為-（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；
（Ⅱ）已知點A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點M，與x軸相交于點N（異于原點），當a在什么范圍內取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當a在什么范圍內取值時，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點．將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x-上，請說明理由．

Answer 1

解：設該拋物線的解析式為，
∵拋物線經過（0，0）、（1，1）兩點，
∴，
解得．
∴該拋物線的解析式為
（Ⅰ）當a=1時，該拋物線的解析式為y=-x²+2x，
y=-x²+2x=-（x²-2x+1）+1=-（x-1）²+1．
該拋物線的頂點坐標為（1，1）；

（Ⅱ）∵點N在x軸上，∴點N的縱坐標為0．
當y=0時，有，
解得x₁=0，x₂=a+1．
∵點N異于原點，∴點N的坐標為（a+1，0）．
∴ON=a+1，
∵點M在射線AB上，∴點M的縱坐標為1．
當y=1時，有，
整理得出，
解得x₁=1，x₂=a．
點M的坐標為（1，1）或（a，1）．
當點M的坐標為（1，1）時，M與B重合，
此時a=1，BM=0，ON=2．ON+BM與ON-BM的值都是常數(shù)2．
當點M的坐標為（a，1）時，
若點M在點B右側，此時a＞1，BM=a-1．
∴ON+BM=（a+1）+（a-1）=2a，ON-BM=（a+1）-（a-1）=2．
若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM=1-a．
∴ON+BM=（a+1）+（1-a）=2，ON-BM=（a+1）-（1-a）=2a．
∴當0＜a≤1時，ON+BM的值是常數(shù)2，
當a≥1時，ON-BM的值是常數(shù)2．

（Ⅲ）設平移后的拋物線的解析式為，
由不動點的定義，得方程：，
即t²+（a-2h）t+h²-ak=0．
∵平移后的拋物線只有一個不動點，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根．
∴判別式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，
有a-4h+4k=0，即．
∴頂點（h，k）在直線上．
分析：（Ⅰ）首先利用拋物線經過O（0，0），B（1，1）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為-求出拋物線解析式，再利用a=1求出拋物線的頂點坐標即可；
（Ⅱ）利用當y=0時，有，求出x的值，進而得出點N的坐標，再利用若點M在點B右側，此時a＞1，BM=a-1；若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM=1-a得出答案即可；
（Ⅲ）利用平移后的拋物線只有一個不動點，故此方程有兩個相等的實數(shù)根，得出判別式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，進而求出k與h，a的關系即可得出頂點（h，k）在直線上．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及根的判別式的性質等知識，利用分類討論的思想得出M與B的不同位置關系得出答案是解題關鍵．