Question

以坐標(biāo)原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B．
（1）如圖一，動點P從點A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動，與此同時，動點Q從點B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運(yùn)動．若點Q的運(yùn)動速度比點P的運(yùn)動速度慢，經(jīng)過1秒后點P運(yùn)動到點（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)
（2）關(guān)鍵是求出Q點的運(yùn)動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．
解答：解：（1）如圖一，連接AQ．
由題意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A為OP的中點．
∵PQ與⊙O相切于點Q，
∴△OQP為直角三角形．
∴．
即△OAQ為等邊三角形．
∴∠QOP=60°．

（2）由（1）可知點Q運(yùn)動1秒時經(jīng)過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動，那么再過5秒，則Q點落在⊙O與y軸負(fù)半軸的交點處（如圖二）．設(shè)直線PQ與⊙O的另外一個交點為D，
過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=．
∵，
∴OC==．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=，
∴QC==．
∴QD=．
點評：此題主要考查了圓中動點問題，以及切線的性質(zhì)定理．勾股定理，綜合性較強(qiáng)，題目比較新穎．