Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=12cm，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接BC．

（1）求證：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，點(diǎn)Q在優(yōu)弧ABC上，從點(diǎn)A開始逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止（點(diǎn)Q與點(diǎn)C不重合），當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）或或．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，從而得到結(jié)論；

（2）△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，有三種情況，即：①當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)；②當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)；③當(dāng)∠BOQ=50°時(shí)，即∠AOQ=230°時(shí)；分別求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）解：∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，∵AB=12，∴AO=6，

①當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==；

②當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)，即∠AOQ=130°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==；

③當(dāng)∠BOQ=50°時(shí)，即∠AOQ=230°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)==；

綜上所述，當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或或．