Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（k+1）x²+2kx+k-3=0的兩個不相等的實數根．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）在（1）條件下，當k為最小整數時一元二次方程x²-x+k=0與x²+mx-m²=0只有一個相同的根，求m值．

Answer 1

解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4（k+1）（k-3）＞0
解得k＞-
∵方程是一元二次方程
∴k+1≠0，
∴k≠-1．
∴實數k的取值范圍為：k＞-且k≠-1．
（2）由（1）可得：k取最小整數時k=0．
∴x²-x+0=0，
解得x₁=0，x₂=1．
①把x=0代入x²+mx-m=0，m=0．
②把x=1代入x²+mx-m=0得，
m²-m-1=0，
解得m=．
分析：（1）若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項系數不為0．
（2）確定出k的最小整數值，即可求得k的值，則方程x²-x+k=0即為已知，即可求得方程的根，方程的根是方程x²+mx-m²=0的根，代入即可求出m的值．
點評：本題對方程x²+mx-m²=0，分類討論，它與方程x²-x=0只有一個相同解，x可能為0，也可能為1．