Question

已知拋物線拋物線y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n為正整數(shù)，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)與x軸的交點(diǎn)為A_n－1(b_n－1，0)和A_n(b_n，0)，當(dāng)n＝1時(shí)，第1條拋物線y₁＝－(x－a₁)²＋a₁與x軸的交點(diǎn)為A₀(0，0)和A₁(b₁，0)，其他依此類推．

(1)求a₁，b₁的值及拋物線y₂的解析式；

(2)拋物線y₃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(________，________)；

依此類推第n條拋物線y_n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(________，________)；

所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系是________；

(3)探究下列結(jié)論：

①若用A_n－1A_n表示第n條拋物線被x軸截得得線段長(zhǎng)，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n－1A_n；

②是否存在經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得得線段的長(zhǎng)度都相等？若存在，直接寫出直線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：(1)∵y1＝―(x―a1)2＋a1與x軸交于點(diǎn)A0(0，0)， 　　∴―a12＋a1＝0，∴a1＝0或1． 　　由已知可知a1＞0， 　　∴a1＝1． 　　即y1＝―(x―1)2＋1 　　方法一：令y1＝0代入得：―(x―1)2＋1＝0， 　　∴x1＝0，x2＝2， 　　∴y1與x軸交于A0(0，0)，A1(2，0) 　　∴b1＝2， 　　方法二：∵y1＝―(x―a1)2＋a1與x軸交于點(diǎn)A0(0，0)， 　　∴―(b1―1)2＋1＝0，b1＝2或0，b1＝0(舍去)． 　　∴b1＝2． 　　又∵拋物線y2＝―(x―a2)2＋a2與x軸交于點(diǎn)A1(2，0)， 　　∴―(2―a2)2＋a2＝0， 　　∴a2＝1或4，∵a2＞a1，∴a2＝1(舍去)． 　　∴取a2＝4，拋物線y2＝―(x―4)2＋4． 　　(2)(9，9)； 　　(n2，n2) 　　y＝x． 　　詳解如下： 　　∵拋物線y2＝―(x―4)2＋4令y2＝0代入得：―(x―4)2＋4＝0， 　　∴x1＝2，x2＝6． 　　∴y2與x軸交于點(diǎn)A1(2，0)，A2(6，0)． 　　又∵拋物線y3＝―(x―a3)2＋a3與x軸交于A2(6，0)， 　　∴―(6―a3)2＋a3＝0 　　∴a3＝4或9，∵a3＞a3，∴a3＝4(舍去)， 　　即a3＝9，∴拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9，9)． 　　由拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)，y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9，9)，依次類推拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n2，n2)． 　　∵所有拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)， 　　∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝x； 　　③∵A0(0，0)，A1(2，0)， 　　∴A0A1＝2． 　　又∵yn＝―(x―n2)2＋n2， 　　令yn＝0， 　　∴―(x―n2)2＋n2＝0， 　　即x1＝n2＋n，x2＝n2－n， 　　∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)，即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n． 　�、诖嬖冢�是平行于直線y＝x且過A1(2，0)的直線，其表達(dá)式為y＝x－2． 　　[考點(diǎn)解剖]本題考查了二次函數(shù)的一般知識(shí)，求字母系數(shù)、解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)；字母表示數(shù)(符號(hào)意識(shí))，數(shù)形結(jié)合思想，規(guī)律探究，合情推理，解題方法的靈活性等等，更重要的是一種膽識(shí)和魄力，敢不敢動(dòng)手，會(huì)不會(huì)從簡(jiǎn)單，從特殊值入手去探究一般規(guī)律，畫一畫圖幫助思考，所有這些都是做學(xué)問所必需的品質(zhì)和素養(yǎng)，也是新課程改革所倡導(dǎo)的精神和最高境界． 　　[解題思路](1)將A0坐標(biāo)代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就確定了，已知拋物線就可求出b1的值，又把(b1，0)代入y2，可求出a2，即得y2的解析式；(2)用同樣的方法可求得a3、a4、a5……由此得到規(guī)律，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝x；(3)由(2)可知得；最后一問我們會(huì)猜測(cè)這是與直線y＝x平行且過A(2，0)的一條直線，用特殊值法取得和，得所截得的線段長(zhǎng)度為，換一組拋物線試試，求出的值也為(當(dāng)然用字母來運(yùn)算就是解得和，求得所截得的線段長(zhǎng)度也為)． 　　[解答過程]略． 　　[方法規(guī)律]掌握基礎(chǔ)(知識(shí))，靈活運(yùn)用(方法)，敢于動(dòng)手，不畏艱難． 　　[關(guān)鍵詞]二次函數(shù)　拋物線　規(guī)律探究