Question

如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點(diǎn)O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q．A，B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）求PQ的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：（1）連接OQ，
∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ=

102-62

=8（cm）．（3分）

（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，
∵點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴

PA

PO

=

PB

PQ

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBQ為矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半徑為6，
∴BQ=OC=6時(shí)，直線AB與⊙O相切．
①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置，
BQ=PQ-PB=8-4t，
∵BQ=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置，
BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴當(dāng)t為0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切．（8分）

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．