Question

【題目】如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)A，并經(jīng)過(guò)B（4，4）和C（6，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線DC運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線EF交直線AB于點(diǎn)F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求出t的值；

（3）設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，點(diǎn)E，F，G都與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△BCG的面積為4時(shí)，直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值，并直接寫(xiě)出點(diǎn)G從出發(fā)到此時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=；（3）當(dāng)t1=秒，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為，當(dāng)t2=5秒，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）先表示G的坐標(biāo)，再把點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列方程可得t的值；

（3）如圖2，先計(jì)算當(dāng)G在BD上時(shí)，t的值；

分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖3，作輔助線，根據(jù)S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，列式可得t的值，利用勾股定理求AG的長(zhǎng)即可；

②當(dāng)G在BC上時(shí)，如圖4，根據(jù)同角的三角函數(shù)得tan∠C==2，則GH=2HC，列關(guān)于t的方程得：t=；當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖5，同理可得結(jié)論；

③當(dāng)E與D重合時(shí)，F與B重合，如圖6，此時(shí)t=4，計(jì)算此時(shí)△BCG的面積為2，因此點(diǎn)G繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)t＞4時(shí)，如圖7，同理列方程可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）將B（4，4）和C（6，0）代入拋物線得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ；

（2）如圖1，由題意得：AE=t，∵A（0，4），B（4，4），∴AB⊥y軸，且AB∥x軸，∵OA=OD=4，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO=∠BAD=45°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴AF=EF=t，∵△EFG是等腰直角三角形，∴G（t+t，4﹣t），即：點(diǎn)G（t，4﹣t），將點(diǎn)G（t，4﹣t）代入到拋物線得：　4﹣t=，解得：t1=0（舍），t2=．

答：當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)G落在拋物線上；

（3）如圖2，連接BD，當(dāng)G在BD上時(shí)， t=4，t=，分三種情況討論：

①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖3，過(guò)G作GH⊥x軸于H，延長(zhǎng)HG交AB于M，則GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0），∴BD⊥x軸，∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4=（4﹣t+4）（4﹣t）+×4×（6﹣4）﹣（6﹣t）（4﹣t），4=t，解得：t=，∴AM=t =×=，GM=t=×=，在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG===；

∴當(dāng)t=時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為；

②當(dāng)G在BC上時(shí)，如圖4，tan∠C==2，∴GH=2HC，∴4﹣t=2（6﹣t），t=，當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖5，S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，4=×4×2﹣（4﹣t+4）（t﹣4）﹣×（4-t）（6-t），t=（不在此范圍內(nèi)，不符合題意）；

③當(dāng)E與D重合時(shí)，F與B重合，如圖6，t==4，∴G（6，2），∴AG==，∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC=×2×（4+2）﹣×2×4=2，∴當(dāng)t＞4時(shí)，如圖7，由題意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，過(guò)G作MH⊥x軸，交x軸于H，交直線AB于M，∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4=（t﹣4+t﹣2）×4﹣×2×（t﹣2）﹣×2×（t﹣4），t=5，當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑分為兩部分組成：

i）點(diǎn)G從A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，運(yùn)動(dòng)路徑為：如圖6中的AG長(zhǎng)，即為；

ii）點(diǎn)G從D點(diǎn)繼續(xù)在射線DC上運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，路徑為1；

所以當(dāng)t=5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為．

綜上所述：當(dāng)t1=秒，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為，當(dāng)t2=5秒，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為．