Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線y=x²-2交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在y軸左側(cè)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4），連接PA，PB．有以下說(shuō)法：
①PO²=PA•PB；
②當(dāng)k＞0時(shí)，（PA+AO）（PB-BO）的值隨k的增大而增大；
③當(dāng)k=時(shí)，BP²=BO•BA；
④△PAB面積的最小值為．
其中正確的是    ．（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：首先得到兩個(gè)基本結(jié)論：
（I）設(shè)A（m，km），B（n，kn），聯(lián)立兩個(gè)解析式，由根與系數(shù)關(guān)系得到：m+n=3k，mn=-6；
（II）直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱．
利用以上結(jié)論，解決本題：
（1）說(shuō)法①錯(cuò)誤．如答圖1，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，若結(jié)論①成立，則可以證明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此產(chǎn)生矛盾，故說(shuō)法①錯(cuò)誤；
（2）說(shuō)法②錯(cuò)誤．如答圖2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16為定值，故錯(cuò)誤；
（3）說(shuō)法③正確．聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求得BP、BO、BA，驗(yàn)證等式BP²=BO•BA成立，故正確；
（4）說(shuō)法④正確．由根與系數(shù)關(guān)系得到：S_△PAB=2，當(dāng)k=0時(shí)，取得最小值為，故正確．
解答：解：設(shè)A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯(lián)立y=x²-2與y=kx得：x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，-4），A（m，km）代入得：
，解得a=，b=-4，
∴y=（）x-4．
令y=0，得x=，
∴直線PA與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
同理可得，直線PB的解析式為y=（）x-4，直線PB與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
∵+===0，
∴直線PA、PB與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，即直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱．
（1）說(shuō)法①錯(cuò)誤．理由如下：
如答圖1所示，∵PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′落在PB上．
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假設(shè)結(jié)論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴說(shuō)法①錯(cuò)誤．
（2）說(shuō)法②錯(cuò)誤．理由如下：
易知：=-，
∴OB=-OA．
由對(duì)稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴，
∴PB=-PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-PA-（-OA）]=-（PA+AO）（PA-OA）=-（PA²-AO²）．
如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=（m+n），
∴PA²-AO²=8•（m+n）•m+16=m²+mn+16=m²+×（-6）+16=m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-（PA²-AO²）=-•m²=-mn=-×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）為定值，所以說(shuō)法②錯(cuò)誤．
（3）說(shuō)法③正確．理由如下：
當(dāng)k=時(shí)，聯(lián)立方程組：，得A（，2），B（，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故說(shuō)法③正確．
（4）說(shuō)法④正確．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=OP•（-m）+OP•n=OP•（n-m）=2（n-m）=2=2，
∴當(dāng)k=0時(shí)，△PAB面積有最小值，最小值為=．
故說(shuō)法④正確．
綜上所述，正確的說(shuō)法是：③④．
故答案為：③④．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，難度很大．解答中首先得到兩個(gè)基本結(jié)論，其中PA、PB的對(duì)稱性是判定說(shuō)法①的基本依據(jù)，根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論是判定說(shuō)法②、④的關(guān)鍵依據(jù)．正確解決本題的關(guān)鍵是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將平時(shí)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用．