Question

如圖，△ABC中，AB=AC=2，若P為BC的中點，則AP²+BP•PC的值為______；若BC邊上有100個不同的點P₁，P₂，…，P₁₀₀，記m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），則m₁+m₂+…+m₁₀₀的值為______．

Answer 1

過A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
∴AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²=AP²+BF²-FP²=AP²+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB²=AP²+BP•PC=4，
故答案為：4；
作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD．
根據(jù)勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀₀=4×100=400．
故答案為：400．