Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點E在半圓弧上．若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=____．

Answer 1

【答案】21

【解析】

連接EB、AE，OJ、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關(guān)系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB=21．

∵正方形DEFG的面積為100，

∴正方形DEFG邊長為10．

連接EB、AE，OI、OJ，

∵AC、BC是⊙O的切線，

∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，

設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，

在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；

在Rt△AEB中，

∵∠AEB=90°，ED⊥AB，

∴△ADE∽△BDE∽△ABE，

∴ED2=ADBD，即102=xy②．

解①、②得x+y=21，即半圓的直徑AB=21．

故答案為：21．