Question

【題目】如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長度的速度變動(dòng)；與此同時(shí)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)，點(diǎn)P，M移動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為24．

【解析】分析：（1）由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，由條件可求得∠PAC=60°，可設(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

詳解：根據(jù)題意，把，代入拋物線解析式可得，解得，

拋物線的表達(dá)式為，

，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

如圖1，過P作軸于點(diǎn)C，

，

，

當(dāng)時(shí)，，

，即，

設(shè)，則，

，

把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得，解得或，

經(jīng)檢驗(yàn)，與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去，

所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，則，，

如圖2，作軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則，

，

，

點(diǎn)A到PE的距離竽OE，點(diǎn)B到PE的距離等于BE，

，且，

，

當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為24．