Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分別交AE，AF于M，N．下列結(jié)論：①AF⊥BG；②BN= NF；③ = ；④S四邊形CGNF= S四邊形ANGD ． 其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=CD，
∵BE=EF=FC，CG=2GD，
∴BF=CG，
∵在△ABF和△BCG中， ，
∴△ABF≌△BCG，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正確；②∵在△BNF和△BCG中， ，
∴△BNF∽△BCG，∴ = = ，
∴BN= NF；②錯(cuò)誤；③作EH⊥AF，令A(yù)B=3，則BF=2，BE=EF=CF=1，

AF= = ，
∵S△ABF= AFBN= ABBF，
∴BN= ，NF= BN= ，
∴AN=AF﹣NF= ，
∵E是BF中點(diǎn)，
∴EH是△BFN的中位線，
∴EH= ，NH= ，BN∥EH，
∴AH= ， = ，解得：MN= ，
∴BM=BN﹣MN= ，MG=BG﹣BM= ，
∴ = ；③正確；
④連接AG，F(xiàn)G，根據(jù)③中結(jié)論，

則NG=BG﹣BN= ，
∵S四邊形CGNF=S△CFG+S△GNF= CGCF+ NFNG=1+ = ，
S四邊形ANGD=S△ANG+S△ADG= ANGN+ ADDG= + = ，
∴S四邊形CGNF≠ S四邊形ANGD ， ④錯(cuò)誤；
所以答案是①③．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．