Question

已知關(guān)于x的方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0．
（1）請(qǐng)你選取一個(gè)合適的整數(shù)m，使方程有兩個(gè)有理數(shù)根，并求出這兩個(gè)根；
（2）當(dāng)m＞0，且m²-2m＜0時(shí)，討論方程的實(shí)數(shù)根的情況．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，方程變形為：-2x²+x=0，解方程即可；
（2）分類討論：①當(dāng)m=2時(shí)，m＞0，且m²-2m=0，不合題意舍去；②當(dāng)m≠2時(shí)，原方程為一元二次方程，計(jì)算△=-3（m²-2m）+1，由m²-2m＜0，得到△＞0，根據(jù)判別式的意義即可得到此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，方程變形為：-2x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=

1

2

．
∴當(dāng)m=0時(shí)，方程的兩個(gè)有理根為：x₁=0，x₂=

1

2

；

（2）當(dāng)m＞0，且m²-2m＜0時(shí)，得0＜m＜2，原方程為一元二次方程，
∴△=b²-4ac=[-（m-1）]²-4m（m-2），
=m²-2m+1-4m²+8m，
=-3m²+6m+1，
=-3（m²-2m）+1，
∵m²-2m＜0，
∴-3（m²-3m）＞0．
∴△=b²-4ac＞0，
∴此時(shí)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．