Question

16．如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作B關于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即為所求的點．

解答 解：作B關于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′關于AC的對稱，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四邊形ABCB′是平行四邊形，
∵三角形ABC是邊長為4，
∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴AD=2$\sqrt{3}$，BD=CD=2，BB′=2AD=4$\sqrt{3}$，
作B′G⊥BC的延長線于G，
∴B′G=AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△B′BG中，
BG=$\sqrt{BB{′}^{2}-B′{G}^{2}}$=6，
∴DG=BG-BD=6-2=4，
在Rt△B′DG中，B′D=$\sqrt{D{G}^{2}+B′{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故BE+ED的最小值為2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查的是最短路線問題，涉及的知識點有：軸對稱的性質、等邊三角形的性質、勾股定理等，有一定的綜合性，但難易適中．