Question

【題目】綜合與實(shí)踐

正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究

定義：如圖1，在正方形中，以為直徑作半圓，以為圓心，為半徑作，與半圓交于點(diǎn).我們稱點(diǎn)為正方形的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”．過(guò)奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形無(wú)論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究．

性質(zhì)探究：如圖2，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為半圓的切線．

證明：連接．

由作圖可知，，

又．

，∴是半圓的切線．

問(wèn)題解決：

（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接.請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖4，已知點(diǎn)為正方形的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（4）如圖5，已知點(diǎn)為正方形的四個(gè)“奇妙點(diǎn)”．連接，恰好得到一個(gè)特殊的“趙爽弦圖”．請(qǐng)根據(jù)圖形，探究并直接寫(xiě)出一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）；（3），理由見(jiàn)解析；（4）答案不唯一，如：的面積等于正方形的面積；正方形的面積等于正方形面積的等．

【解析】

（1）先提出猜想，在圖2以及上面結(jié)論的基礎(chǔ)上，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出，再由邊邊邊定理可證得，然后利用全等三角形的性質(zhì)、等式性質(zhì)可得證結(jié)論；

（2）由（1）可知、，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、線段的和差即可得到結(jié)論；

（3）先提出猜想，添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，由（1）可知，則其正切值相等，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得證結(jié)論；

（4）根據(jù)前面的結(jié)論結(jié)合趙爽弦圖可證得

，即可提出猜想．

解：（1）結(jié)論：

理由如下：

∵

∴，，

∴

∵

∴

在和中

∵，

∴

∴

∵

∴；

（2）∵由（1）可知，、

∴，

∵

∴

∴線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；

（3）結(jié)論：

理由：連接、，如圖：

由（1）可知，

∵

∴

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴

∴

∵四邊形是正方形

∴

∴；

（4）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，如圖：

∵由前面的結(jié)論可知

∴

∵此圖為趙爽弦圖即

∴

同理可得、、

∵四邊形是正方形

∴

∴

∴在和中，

∴

∴

∴

∴

∴答案不唯一，例如，的面積等于正方形的面積；正方形的面積等于正方形面積的等等．