【題目】如圖,反比例函數(shù)y= (k≠0,x>0)的圖像與直線y=3x相交于點C,過直線上點A(1,3)作AB⊥x軸于點B,交反比例函數(shù)圖像于點D,且AB=3BD.
(1)求k的值;
(2)求點C的坐標(biāo);
(3)在y軸上確定一點M,使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小,求點M的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:∵A(1,3),
∴AB=3,OB=1,
∵AB=3BD,
∴BD=1,
∴D(1,1)
將D坐標(biāo)代入反比例解析式得:k=1
(2)解:由(1)知,k=1,
∴反比例函數(shù)的解析式為;y= ,
解: ,
解得: 或 ,
∵x>0,
∴C( , )
(3)解:如圖,作C關(guān)于y軸的對稱點C′,連接C′D交y軸于M,
則d=MC+MD最小,
∴C′(﹣ , ),
設(shè)直線C′D的解析式為:y=kx+b,
∴ ,∴ ,
∴y=(3﹣2 )x+2 ﹣2,
當(dāng)x=0時,y=2 ﹣2,
∴M(0,2 ﹣2).
【解析】(1)根據(jù)A坐標(biāo),以及AB=3BD求出D坐標(biāo),代入反比例解析式求出k的值;(2)直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點C坐標(biāo);(3)作C關(guān)于y軸的對稱點C′,連接C′D交y軸于M,則d=MC+MD最小,得到C′(﹣ , ),求得直線C′D的解析式為y=﹣ x+1+ ,直線與y軸的交點即為所求.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識,掌握已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在ABCD中,點O是對角線AC、BD的交點,AC垂直于BC,且AB=10cm,AD=8cm.
求:
(1)AC的長;
(2)求OB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O的半徑為2,直線l上有一點P滿足PO=2,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相切
B.相離
C.相離或相切
D.相切或相交
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=(1﹣2m)x+m﹣1,若函數(shù)y隨x的增大而減小,并且函數(shù)的圖像經(jīng)過二、三、四象限,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定:求若干個相同的有理數(shù)(均不等)的除法運算叫做除方,如2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.類比有理數(shù)的乘方,我們把2÷2÷2記作2③,讀作“2的圈3次方”,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)記作,讀作“-3的圈4次方”一般地,把()記作a,讀作“a的圈n次方” .關(guān)于除方,下列說法錯誤的是( )
A. 任何非零數(shù)的圈2次方都等于1; B. 對于任何正整數(shù)n,1=1;
C. 4③=3④ ; D. 負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)
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