Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為5，求點(diǎn)A到CD所在直線的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠A=30°，∠COD=60°，所以∠OCD=90°，從而得證；
（2）作AE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)，在△OCD中求出OD，從而知AD長(zhǎng)度，然后在△ADE中即可求出AE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：
∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°．∴∠CAD=∠CDA=30°．
連接OC．
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形．
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
在△COD中，
又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°．
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=10，AD=AO+OD=15．
∵在Rt△ADE中，∠EDA=30°，
∴點(diǎn)A到CD邊的距離為：AE=AD•sin30°=7.5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．