Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且AE=EF=FA．下列結(jié)論：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF，其中正確的是    （只填寫序號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可證△ABE≌△ADF，利用全等的性質(zhì)判斷①②③正確，在AD上取一點(diǎn)G，連接FG，使AG=GF，由正方形，等邊三角形的性質(zhì)可知∠DAF=15°，從而得∠DGF=30°，設(shè)DF=1，則AG=GF=2，DG=，分別表示AD，CF，EF的長(zhǎng)，判斷④⑤的正確性．
解答：解：∵AB=AD，AE=AF=EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF為等邊三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE=（∠BAD-∠EAF）=（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°，
∴①②③正確，
在AD上取一點(diǎn)G，連接FG，使AG=GF，
則∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
設(shè)DF=1，則AG=GF=2，DG=，
∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，
∴EF=CF=+，而BE+DF=2，
∴④錯(cuò)誤，
⑤∵S_△ABE+S_△ADF=2×AD×DF=2+，
S_△CEF=CE×CF==2+，
∴⑤正確．
故答案為：①②③⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)，把條件集中到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解．