Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．

（1）求證：CG是⊙O的切線．

（2）求證：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OC，由C是劣弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論。

（2）連接AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。

（3）2

【解析】

分析：（1）連接OC，由C是劣弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論。

（2）連接AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。

（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根據(jù)平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入計算即可。

解：（1）證明：如圖，連接OC，

 ∵C是劣弧AE的中點，∴OC⊥AE。

∵CG∥AE，∴CG⊥OC。

∵OC是⊙O的半徑，∴CG是⊙O的切線。

（2）證明：連接AC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

∴∠2+∠BCD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°�！唷螧=∠2。

∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B。

∴∠1=∠2�！郃F=CF。

（3）在Rt△ADF中，∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，∴DF=AF=1。

∴AD=DF=。

∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2。

∴AG=2。