Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，，，點C在x軸的正半軸上，

    點D為OC的中點．

（1） 求證：BD∥AC；

（2） 當BD與AC的距離等于1時，求點C的坐標；

（3）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

    解：（1）

 

       （2）

       （3）

 

Answer 1

解：（1）∵ ，，

        ∴ OA=4，OB=2，點B為線段OA的中點．

        ∵ 點D為OC的中點，

        ∴ BD∥AC．

   （2）如圖6，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，則．

∵ BD∥AC，BD與AC的距離等于1，

∴ ．

        ∵ 在Rt△ABF中，，AB=2，點G為AB的中點，

∴ ．

∴ △BFG是等邊三角形，．

    ∴ ．

    設，則，．

  

 

 ∵ OA=4，

    ∴ ．

    ∵ 點C在x軸的正半軸上，

    ∴ 點C的坐標為．

       （3）如圖7，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE．

  ∴ DE⊥OC．

  ∵ 點D為OC的中點，

  ∴ OE=EC．

  ∵ OE⊥AC，

  ∴ ．

            ∴ OC=OA=4．

    ∵ 點C在x軸的正半軸上，

    ∴ 點C的坐標為．

            設直線AC的解析式為（k≠0）．

            則   解得

            ∴ 直線AC的解析式為 ．