Question

【題目】如圖，以點(diǎn)為圓心，為半徑作優(yōu)弧，連接，，且，在弧上任意取點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的順時(shí)針方向）且使，以為邊向弧內(nèi)作正三角形．

（1）發(fā)現(xiàn)：不論點(diǎn)在弧上什么位置，點(diǎn)與點(diǎn)的距離不變，點(diǎn)與點(diǎn)的距離是_____；點(diǎn)到直線的最大距離是_______．

（2）思考：當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，求點(diǎn)到的距離，在備用圖1中畫出示意圖，并寫出計(jì)算過程．

（3）探究：當(dāng)與垂直或平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)到的距離．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；畫出示意圖見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的判定可證得CO垂直平分AB，再利用勾股定理分別求得OG、CG的長，進(jìn)而可得OC長，如圖2，當(dāng)CO⊥EF時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，利用60的正弦值可求得OH的長，進(jìn)而求得EF的最大值；

（2）先畫出示意圖，然后先證∽，由相似三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)到的距離；

（3）分別畫出⊥及∥時(shí)的示意圖，然后利用特殊角的三角函數(shù)值可求得點(diǎn)到的距離．

（1）解：如圖1，連接OA、OB、OC，延長OC交AB于點(diǎn)G，

在正△ABC中，AB＝BC＝AC＝2

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，CG＝，

在Rt△AGO中，OG＝，

∴OC＝OE-CE＝,

如圖2，延長CO交EF于點(diǎn)H，

當(dāng)CO⊥EF時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為CH的長，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵

∴，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO＋OH＝

∴點(diǎn)到直線的最大距離是．

（2）如備用圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線時(shí)，

由可知，

點(diǎn)都在線段的垂直平分線上，

過點(diǎn)作的垂線垂足為，

則為中點(diǎn)，直線過點(diǎn).

由

可得∽，

，

，

（3）如圖3，當(dāng)BC⊥OE時(shí)，設(shè)垂足為點(diǎn)M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°-120°＝60°，

在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝,

∴

如圖4，當(dāng)BC∥OE時(shí)，過點(diǎn)C作CN⊥OE，垂足為點(diǎn)N，

∵BC∥OE ，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝,

∴，

綜上所述，當(dāng)與垂直或平行時(shí)，點(diǎn)到的距離為或．