Question

如圖，∠PAQ是直角，半徑為5的⊙O與AP相切于點T，與AQ相交于兩個點B、C．

(1)BT是否平分∠OBA？證明你的結(jié)論；

(2)若已知AT＝4，試求AB的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BT平分∠OBA．證法一：連接OT，∵AT是切線，∴OT⊥AP．又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，∴AB∥OT，∴∠TBA＝∠BTO．又∵OT＝OB　∴∠OTB＝∠OBT．∴OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA．證法二：可作直徑BD，連結(jié)DT，構成Rt△TBD，也可證得BT平分∠OBA； 　　(2)解法一：過點B作BH⊥OT于點H，則在Rt△OBH中，OB＝5，BH＝AT＝4，∴OH＝3．∵AB＝HT＝OT－OH＝5－3＝2． 　　解法二：設AB＝x，則由Rt△ABT得BT2＝x2＋16，又由Rt△ABT∽Rt△TBD得BT2＝BD·AB＝10x，得方程x2＋16＝10x，解之并取舍，得AB＝2． 　　解法三：過點O作OM⊥BC于M，則MO＝AT＝4．在Rt△OBM中，∵OB＝5，∴BM＝3，∴BC＝2BM＝6．由AT2＝AB·AC，得AB＝2．