Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別做勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值；
（2）當(dāng)O＜t＜2時(shí)，寫出△PQA的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵當(dāng)P到c點(diǎn)時(shí)，t=5（秒），
當(dāng)Q到D點(diǎn)時(shí)，t=8（秒），
∴點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)，此時(shí)t為5秒；

（2）如圖，作BE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥AD于點(diǎn)F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=

3

t，
∴s=

3

2

t²（0＜t＜2）；

（3）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，以PO為直徑的圓與CD不可能相切．
當(dāng)2≤t≤5時(shí)，設(shè)以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)K，
則有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位線，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=

13± 15

2

．
∵

13+ 15

2

＞5，不合題意舍去．
2＜

13- 15

2

＜5，
因此，當(dāng)t=

13- 15

2

時(shí)，以PQ為直徑的圓與CD相切．