Question

如圖，以BC為直徑作Rt△ABC的外接圓，圓心為點P，在△ABC的同側又作正方形BCEF，BE、CF交于點為O，連接AO．
（1）求證：點O在⊙P上且∠BAO=135°；
（2）如果AB=2，AO=4，求BO及AC的長．

Answer 1

（1）證明：連接OP．
∵四邊形BCEF是正方形，
∴BE⊥CF，OB=OC．
∵P是BC的中點，
∴OP=BC．
∵BC是圓的直徑，
∴點O在圓上．
∴∠BAO=90°+45°=135°．

（2）解：過O作OK⊥BA延長線于K．
∵AO=4，
∴∠BAO=135°，
∴∠OAK=45°，
∴AK=OK=4．
根據勾股定理，得
BO=2，
∴AC=10．
分析：（1）連接OP．根據正方形的性質、直角三角形的性質和圓周角定理的推論進行求解；
（2）過O作OK⊥BA延長線于K．根據等腰直角三角形的性質和勾股定理進行計算．
點評：此題綜合運用了正方形的性質、等腰直角三角形的性質和勾股定理．