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在平面直角坐標系xOy中,已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,其頂點的橫坐標為1,且過點(2,3)和(-3,-12).
(1)求此二次函數的表達式;
(2)若直線l:y=kx(k≠0)與線段BC交于點D(不與點B,C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似?若存在,求出該直線的函數表達式及點D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點P是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點,試比較精英家教網銳角∠PCO與∠ACO的大。ú槐刈C明),并寫出此時點P的橫坐標xp的取值范圍.
分析:(1)已知了拋物線的頂點橫坐標為1,即x=-
b
2a
=1,將已知的兩點坐標代入拋物線中,聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式.
(2)本題要分兩種情況討論:△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,解題思路都是通過相似三角形得出的關于BD、BC、BO、BA的比例關系式求出BD的長,然后根據∠OBC=45°的特殊條件用BD的長求出D點的坐標.
(3)本題求解的關鍵是找出幾個特殊位置.
①由于∠PCO是銳角,因此要先找出∠PCO是直角時的值,以此來確定P的大致取值范圍.去C關于拋物線對稱軸的對稱點C′(2,3),那么當P、C′重合時,∠PCO=90°,因此∠PCO若為銳角,則P點的橫坐標必大于2.
②當∠PCO=∠ACO時,根據A點的坐標和拋物線對稱軸的解析式可知:∠ACO=∠ECO,因此直線CE與拋物線的交點(除C外)就是此時P點的位置.據此可求出此時P點的橫坐標.
根據上面兩種情況進行判定即可.
解答:精英家教網解:(1)∵二次函數圖象頂點的橫坐標為1,且過點(2,3)和(-3,-12),
∴由
-
b
2a
=1
4a+2b+c=3
9a-3b+c=-12

解得
a=-1
b=2
c=3

∴此二次函數的表達式為y=-x2+2x+3.

(2)假設存在直線l:y=kx(k≠0)與線段BC交于點D(不與點B,C重合),使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似.
在y=-x2+2x+3中,令y=0,則由-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3.
∴A(-1,0),B(3,0).
令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
設過點O的直線l交BC于點D,過點D作DE⊥x軸于點E.
∵點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,3),點A的坐標為(-1,0).
∴|AB|=4,|OB|=|OC|=3,∠OBC=45°.
∴|BC|=
32+32
=3
2

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,
已有∠B=∠B,則只需
|BD|
|BC|
=
|BO|
|BA|
,①或
|BO|
|BC|
=
|BD|
|BA|
②成立.
若是①,則有|BD|=
|BO|•|BC|
|BA|
=
3×3
2
4
=
9
2
4

而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|.
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=(
9
2
4
2
解得|BE|=|DE|=
9
4
(負值舍去).
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
9
4
=
3
4

∴點D的坐標為(
3
4
,
9
4
).
將點D的坐標代入y=kx(k≠0)中,求得k=3.
∴滿足條件的直線l的函數表達式為y=3x.
或求出直線AC的函數表達式為y=3x+3,則與直線AC平行的直線l的函數表達式為y=3x.
此時易知△BOD∽△BAC,再求出直線BC的函數表達式為y=-x+3.聯(lián)立y=3x,y=-x+3求得點D的坐標為(
3
4
,
9
4
).
若是②,則有|BD|=
|BO|•|BA|
|BC|
=
3×4
3
2
=2
2

而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|.
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=(2
2
2
解得|BE|=|DE|=2(負值舍去).
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1.
∴點D的坐標為(1,2).
將點D的坐標代入y=kx(k≠0)中,求得k=2.
∴滿足條件的直線l的函數表達式為y=2x.
∴存在直線l:y=3x或y=2x與線段BC交于點D(不與點B,C重合),
使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似,且點D的坐標分別為(
3
4
,
9
4
)或(1,2).

(3)設過點C(0,3),E(1,0)的直線y=kx+3(k≠0)與該二次函數的圖象交于點P.
將點E(1,0)的坐標代入y=kx+3中,
求得k=-3.
∴此直線的函數表達式為y=-3x+3.
設點P的坐標為(x,-3x+3),
并代入y=-x2+2x+3,得x2-5x=0.
解得x1=5,x2=0(不合題意,舍去).
∴x=5,y=-12.
∴點P的坐標為(5,-12).
此時,銳角∠PCO=∠ACO.
又∵二次函數的對稱軸為x=1,
∴點C關于對稱軸對稱的點C'的坐標為(2,3).
∴當xp>5時,銳角∠PCO<∠ACO;
當xp=5時,銳角∠PCO=∠ACO;
當2<xp<5時,銳角∠PCO>∠ACO.
點評:本題是二次函數綜合體,考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定、函數圖象交點等知識點.綜合性強.
練習冊系列答案
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4
個.

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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
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2
?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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5
5
個.

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(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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