Question

有兩張完全重合的三角形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到三角形AMF（如圖1），若此時他測得BD=8cm，
∠ADB=30°．
（1）試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由；
（2）小紅與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜
90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時，求旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；
（3）在圖2基礎(chǔ)上小強(qiáng)同學(xué)繼續(xù)探究，過點(diǎn)K作KC∥B₁D₁交AB₁于點(diǎn)C，連接CM，（如圖3）求證：△ACM∽△AKF；
（4）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖4），F(xiàn)₂M₂與AD交于點(diǎn)P，A₂M₂與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△BAD≌△MAF．就可以得出線段BD=MF的數(shù)量關(guān)系．
（2）由條件可知∠F=30°，當(dāng)∠F為頂角時，可以求出∠KAF=75°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)，當(dāng)∠F為底角時，可以求出∠KAF=30°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)．
（3）由條件可以證明△ACK∽△AB₁D₁，可以得出

AC

AB1

=

AK

AD1

，由AB₁=AM，AF=AD₁可以得到

AC

AM

=

AK

AF

．再由∠B₁AM=∠D₁AF，就可以得出△ACM∽△AKF．從而得出結(jié)論．
（4）由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設(shè)A₂A=x，則PN=x．由條件根據(jù)勾股定理可以求出AF₂的值，AP的值，再可以得到△DNP∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出A₂A的值．

解答：（1）線段BD與MF的數(shù)量關(guān)系是：BD=MF．
證明：∵△MAF是由△BAD旋轉(zhuǎn)得來的，
∴△BAD≌△MAF．
∴BD=MF．
∴BD與MF的數(shù)量關(guān)系是：BD=MF．

（2）解：當(dāng)∠F為頂角時，
∴∠AKF=∠KAF，
∴∠AKF+∠KAF+∠F=180°，且∠F=30°．
∴∠KAF=

180°-30°

2

=75°．
∴∠MAK=15°．
即β=15°．
當(dāng)∠F為底角時，
∠F=∠KAF，
∵∠F=30°．
∴∠KAF=30°．
∴∠MAK=60°，即β=60°．
綜上所述：當(dāng)∠F為頂角時，β=15°．
當(dāng)∠F為底角時，β=60°．

（3）證明：∵KC∥B₁D₁，
∴△ACK∽△AB₁D₁．
∴

AC

AB1

=

AK

AD1

．
∵△AB₁D₁≌△AMF，
∴AB₁=AM，AF=AD₁，
∴

AC

AM

=

AK

AF

．
∵∠B₁AD₁=∠MAF=90°，
∴∠B₁AM=∠D₁AF，
∴△ACM∽△AKF．

（4）解：如圖4，由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設(shè)A₂A=x，則PN=x．
在Rt△A₂M₂F₂中，
∵M(jìn)₂F₂=MF=BD=8，∠A₂F₂M₂=∠AFM=∠ADB=30°．
∴M₂A₂=4，A₂F₂=4

3

，
∴AF₂=4

3

-x．
在Rt△PAF₂中，
∵∠PF₂A=30°．
∴AP=AF₂•tan30°=（4

3

-x）•

3

3

=4-

3

3

x．
∴PD=AD-AP=4

3

-4+

3

3

x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，
∴△DNP∽△DBA．
∴

PN

AB

=

DP

DA

∴

x

4

=

4 3 -4+ 3 3 x

4 3

，
解得x=6-2

3

．
即A₂A=6-2

3

．
故平移的距離是（6-2

3

）cm．

點(diǎn)評：本題是一道綜合性比較強(qiáng)的幾何綜合試題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時注意使用相等線段的代換．