Question

【題目】已知：如圖，平行四邊形 ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O， E是BO的中點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)作AC的平行線(xiàn)，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BF．

（1）求證：FB=AO；

（2）當(dāng)平行四邊形 ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFBO是菱形？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．理由見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）如圖，取BC的中點(diǎn)G．由三角形中位線(xiàn)定理易證EG=BF=OC；則由“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得四邊形AOBF為平行四邊形．所以平行四邊形的對(duì)邊相等：FB=AO；

（2）若四邊形AFBO是菱形，則OB=OA．故當(dāng)平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相等，即平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．

試題解析：（1）如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接EG．

∵E是BO的中點(diǎn)，

∴EG是△BFC的中位線(xiàn)，

∴EG=BF．

同理，EG=OC，

∴BF=OC．

又∵點(diǎn)O是ABCD的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，

∴AO=CO，

∴BF=AO．

又∵BF∥AC，即BF∥AO，

∴四邊形AOBF為平行四邊形，

∴FB=AO；

（2）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．理由如下：

∵平行四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴平行四邊形AFBO是菱形．