【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C,D為圓上的兩點,OC∥BD,弦AD,BC相交于點E.
(1)求證:;
(2)若CE=1,EB=3,求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,過點C作⊙O的切線,交BA的延長線于點P,過點P作PQ∥CB交⊙O于F,Q兩點(點F在線段PQ上),求PQ的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)半徑為;(3)PQ=
【解析】
(1)由等腰三角形的性質和平行線的性質可得∠OBC=∠CBD,即可證;
(2)通過證明△ACE∽△BCA,可得,可得AC=2,由勾股定理可求AB的長,即可求⊙O的半徑;
(3)過點O作OH⊥FQ于點H,連接OQ,通過證明△APC∽△CPB,可得,可求PA=,即可求PO的長,通過證明△PHO∽△BCA,
可求PH,OH的長,由勾股定理可求HQ的長,即可求PQ的長.
解:(1)∵OC=OB
∴∠OBC=∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB=∠CBD
∴∠OBC=∠CBD
∴
(2)連接AC,
∵CE=1,EB=3,
∴BC=4
∵
∴∠CAD=∠ABC,且∠ACB=∠ACB
∴△ACE∽△BCA
∴
∴AC2=CBCE=4×1
∴AC=2,
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∴AB=,
∴⊙O的半徑為.
(3)如圖,過點O作OH⊥FQ于點H,連接OQ,
∵PC是⊙O切線,
∴∠PCO=90°,且∠ACB=90°
∴∠PCA=∠BCO=∠CBO,且∠CPB=∠CPA
∴△APC∽△CPB
∴,
∴PC=2PA,PC2=PAPB
∴4PA2=PA×(PA+2)
∴PA=,
∴PO=,
∵PQ∥BC
∴∠CBA=∠BPQ,且∠PHO=∠ACB=90°
∴△PHO∽△BCA
∴,
即,
∴PH=,OH=,
∴HQ=,
∴PQ=PH+HQ=.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
B.為了解某燈管的使用壽命,可以采用普查的方式進行
C.甲乙兩組身高數據的方差分別為、,那么乙組的身高比較整齊
D.一組數據3,5,4,5,6,7的眾數、中位數和平均數都是5
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【題目】年疫情期間,長沙市教育局出臺《長沙市中小學線上教學工作實施意見》,長沙市推出名師公益大課堂,為學生提供線上直播教學,據統(tǒng)計,第一批公益課受益學生萬人次,第三批公益課受益學生萬人次.
(1)如果第二批,第三批公益課受益學生人次的增長率相同,求這個增長率;
(2)按照這個增長率,預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,DE⊥AC,垂足為E,CF∥AB交AD延長線于點F,連接BF交⊙O于點G,連接DG.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)求證:四邊形ABFC為菱形;
(3)若OA=5,DG=2,求線段GF的長.
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【題目】已知:如圖,平行四邊形 ABCD的兩條對角線相交于點O, E是BO的中點.過B點作AC的平行線,交CE的延長線于點F,連接BF.
(1)求證:FB=AO;
(2)當平行四邊形 ABCD滿足什么條件時,四邊形AFBO是菱形?說明理由.
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【題目】某縣為落實“精準扶貧惠民政策”,計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內完成;若乙隊單獨施工,則完成工程所需天數是規(guī)定天數的1.5倍.如果由甲、乙隊先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天?
(2)為了縮短工期以減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊合作完成.則甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少天?
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【題目】現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子,分別裝有3個除顏色外完全相同的小球。其中,A袋裝有2個白球,1個紅球;B袋裝有2個紅球,1個白球。
(1)將A袋搖勻,然后從A袋中隨機取出一個小球,求摸出小球是白色的概率;
(2)小華和小林商定了一個游戲規(guī)則:從搖勻后的A,B兩袋中隨機摸出一個小球,摸出的這兩個小球,若顏色相同,則小林獲勝;若顏色不同,則小華獲勝。請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平。
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【題目】甲、乙兩車從城出發(fā)勻速行駛至城.在整個行駛過程中,甲、乙兩車離城的距離(千米)與甲車行駛的時間(小時)之間的函數關系如圖所示.則下列結論:
①兩城相距千米;
②乙車比甲車晚出發(fā)小時,卻早到小時;
③乙車出發(fā)后小時追上甲車;
④當甲、乙兩車相距千米時,
其中正確的結論有( )
A.個B.個C.個D.個
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線經過點,.
(1)求該拋物線的函數表達式及對稱軸;
(2)設點關于原點的對稱點為,點是拋物線對稱軸上一動點,記拋物線在,之間的部分為圖象(包含,兩點),如果直線與圖象有一個公共點,結合函數的圖象,直接寫出點縱坐標的取值范圍.
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