【題目】已知,如圖1,⊙O是四邊形ABCD的外接圓,連接OC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AOBD于點(diǎn)E,OE=OF.

1)求證:BE=FD

2)如圖2,若∠EOF=90°,BE=EF,⊙O的半徑,求四邊形ABCD的面積;

3)如圖3,若AD=BC

①求證:;②若,直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng).

【答案】1)見(jiàn)詳解;(212;(3)①見(jiàn)詳解,②3-

【解析】

1)如圖1中,作OHBDH.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理即可;
2)如圖2中,作OHBDH,連接OB,求出AC,BD,根據(jù)S四邊形ABCD=BDAM+

BDCM=BDAC即可求解;
3)①如圖3中,連接OB,作OHBDH.利用等腰直角三角形的性質(zhì),完全平方公式等知識(shí)即可;
②如圖3中,連接OB,設(shè)DM=CM=x,想辦法求出BCDB,在RtBCM中,利用勾股定理構(gòu)建方程即可.

1)證明:如圖1中,作OHBDH

OE=OF,OHEF
EH=HF,
OHBD,
BH=HD
BE=DF;

2)解:如圖2中,作OHBDH,連接OB

∵∠EOF=90°,OE=OFOA=OC,
∴∠OEF=OAC=45°,
∴∠AME=90°,即ACBD,
連接OB.設(shè)OH=a,
BE=EF,
BE=2EH=2OH=2a,
RtBOH中,∵OH2+BH2=OB2,

a2+3a2=22,

a=-(舍棄),
BD=BE+EF+DF=6a=6,
RtAOC中,AC=AO=2,
S四邊形ABCD=BDAM+BDCM=BDAC=×2×6=12;

3)①如圖3中,連接OB,作OHBDH

OE=OF,OA=OC,
∴∠EOH=EOF=(∠EAC+ACO=×2OAC=OAC,
ACOH,
ACBD,
AD=BC
∴∠ABD=CAB=CDB=45°,
AB=BM,CD=DM,CM=DM
ABCD+BC2=BMDM+BM2+CM2=BM+DM2=BD2;

②如圖3中,連接OB,設(shè)DM=CM=x
∵∠BOC=2BDC=90°,
BC=OB=2,
ABCD+BC2=BD2ABCD=AO2=12,
12+24=BD2,
BD=6(負(fù)根已經(jīng)舍棄),
RtBCM中,∵BC2=BM2+CM2,
∴(22=6-x2+x2,
x=3-3+(舍棄),
CD=x=3-

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