【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+4交x軸于點A(﹣2,0)和B(B在A右側),交y軸于點C,直線y=經(jīng)過點B,交y軸于點D,且D為OC中點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是第一象限拋物線上的一點,過P點作PH⊥BD于H,設P點的橫坐標是t,線段PH的長度是d,求d與t的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,當d=時,將射線PH繞著點P順時針方向旋轉45°交拋物線于點Q,求點Q的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)P(,);(3)Q(0,4).
【解析】試題分析:(1)首先求出點B坐標,利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)設P(t,﹣t2+t+4),,由cos∠HPM=cos∠DBO,可得,由此構建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
(3) 過點P作PF⊥x軸于點F,過點H作HG⊥PF于點G,BD與PQ交于點N,過N作NE⊥HG于E.由全等三角形△PHG≌△HNE,的性質(zhì),(2)中函數(shù)解析式求得點P、N的坐標,然后由直線與拋物線的解析式求得交點Q的坐標.
解:(1)∵y=2kx﹣12k 經(jīng)過B點,
∴當y=0,x=6,
∴B(6,0),又∵A(﹣2,0),
∴,
解得,
∴y=﹣x2+x+4.
(2)如圖,過點P作PM∥y軸交BD于點M,設P(t,﹣t2+t+4),
∵CD=OD,
當x=0時y=4,
∴C(0,4)
∴OD=2,
∴D(0,2),
∴BD=2,
設直線BD解析式為y=mx+n,
∴6m+n=0,n=2,
∴yBD=﹣x+2,
∴M(t,﹣t+2),
∴PM=﹣t2+t+2,
∵∠HPM=∠DBO,
∴cos∠HPM=cos∠DBO,
∴=,
∴=,
∴d=﹣t2+t+,
∴d=﹣(t﹣)2+,
∴當t=時,PH值最大,
∴P(,).
(3)過點P作PF⊥x軸于點F,過點H作HG⊥PF于點G,BD與PQ交于點N,過N作NE⊥HG于E.
∵∠HPN=45°,PH⊥BD,
∴PH=HN,
∴△PHG≌△HNE,
∴HG=NE,PG=EH,
∵由(2)知,d=﹣t2+t+,即:d=﹣(t﹣)2+,
∴當t=時,PH=,
∴P(,).
當PH=時,HG=PG=,
∴EH=,EN=,
∴N(﹣,),P(,),
∴yPN=x+4,
由,
解得或,
∴Q(0,4).
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【題目】如圖,點 O 是等邊△ABC 內(nèi)一點,∠AOB=105°,∠BOC 等于α,將△BOC 繞點 C 按 順時針方向旋轉 60°得△ADC,連接 OD.
(1)求證:△COD 是等邊三角形.
(2)求∠OAD 的度數(shù).
(3)探究:當α為多少度時,△AOD 是等腰三角形?
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【題目】如圖,將△ABC繞點A逆時針旋轉80°后得到△A′B′C′(點B的對應點是點B′,點C的對應點是點C′,連接BB′,若∠B′BC=20°,則∠BB′C′的大小是( )
A. 82° B. 80° C. 78° D. 76°
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【題目】如圖,在中,,是中線,作關于的軸對稱圖形.
(1)直接寫出和的位置關系;
(2)連接,寫出和的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)當,時,在上找一點,使得點到點與到點的距離之和最下小,求的面積.
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【題目】小明同學在完成第10章的學習后,遇到了一些問題,請你幫助他.
(1)圖1中,當,試說明.
(2)圖2中,若,則嗎?請說明理由.
(3)圖3中,,若,,,,則______(直接寫出結果,用含x,y,z的式子表示)
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E為CD上一點,將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處,過F作FH⊥BC于H,交BE于G,連接CG.
(1)求證:四邊形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四邊形CEFG的面積.
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【題目】己知關于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2.
(1)求k的取值范圍;
(2)若=﹣1,求k的值.
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【題目】探究規(guī)律:我們有可以直接應用的結論:若兩條直線平行,那么在一條直線上任取一點,無論這點在直線的什么位置,這點到另一條直線的距離均相等.例如:如圖1,兩直線∥,兩點,在上,⊥于,⊥于,則.
如圖2,已知直線∥,,為直線上的兩點,.為直線上的兩點.
(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形: .
(2)如果,,為三個定點,點在上移動,那么無論點移動到任何位置,總有: 與的面積相等;理由是: .
解決問題:
如圖3,五邊形是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖,經(jīng)過多年開墾荒地,現(xiàn)已變成如圖4所示的形狀,但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖4中折線)還保留著,張大爺想過點修一條直路,直路修好后,要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多.請你用以上的幾何知識,按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案.(不計分界小路與直路的占地面積)
(1)寫出設計方案,并在圖4中畫出相應的圖形;
(2)說明方案設計理由.
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【題目】已知,△ABC中,AB=AC,點E是邊AC上一點,過點E作EF∥BC交AB于點F
(1)如圖①,求證:AE=AF;
(2)如圖②,將△AEF繞點A逆時針旋轉α(0°<α<144°)得到△AE′F′.連接CE′BF′.
①若BF′=6,求CE′的長;
②若∠EBC=∠BAC=36°,在圖②的旋轉過程中,當CE′∥AB時,直接寫出旋轉角α的大小.
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