Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O對稱的拋物線為.

（1）求拋物線L的表達式；

（2）點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標.

Answer 1

【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得；

(2)由關于原點對稱的點的坐標特征可知點A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對應點分別為A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L′的表達式為y＝x2－5x＋6，設P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根據(jù)PD⊥y軸，可得點D的坐標為(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD與Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質分別進行求解即可得.

(1)由題意，得，

解得：，

∴L：y=－x2－5x－6；

(2)∵拋物線L關于原點O對稱的拋物線為，

∴點A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對應點分別為A′(3，0)、B′(0，6)，

∴設拋物線L′的表達式y＝x2＋bx＋6，

將A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，

∴拋物線L′的表達式為y＝x2－5x＋6，

∵A(－3，0)，B(0，－6)，

∴AO＝3，OB＝6，

設P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，

∵PD⊥y軸，

∴點D的坐標為(0，m2－5m＋6)，

∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，

∵Rt△PDO與Rt△AOB相似，

∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，

①當Rt△PDO∽Rt△AOB時，則，即，

解得m1＝1，m2＝6，

∴P1(1，2)，P2(6，12)；

②當Rt△ODP∽Rt△AOB時，則，即，

解得m3＝，m4＝4，

∴P3(，)，P4(4，2)，

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，

∴符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).