(2010•淅川縣二模)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中點,P為線段AB上的一個動點(可以與A、B重合),并作∠MPD=90°,PD交BC(或BC的延長線)于點D.
(1)記BP的長為x,△BMP的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)是否存在這樣的點P,使得△MPD與△ABC相似?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)△BMP中,BM的長易求得,關(guān)鍵是求BM邊上的高;過P作PH⊥BC于H,易證得△BPH∽△BAC,通過相似三角形得出的成比例線段可求出PH的長,進而可求出y、x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)所求的兩個三角形中,已知∠MPD=∠ACB=90°,若使兩三角形相似要分兩種情況進行討論;
一、D在BC上,
①∠PMB=∠B,此時PM=BM,MH=BH=2,可根據(jù)相似三角形得出的成比例線段求出x的值;②∠PMB=∠A,此時△BPM∽△BCA,同①可求得x的值;
二、D在BC延長線上時;
由于∠PMD>∠B,因此只有一種情況:∠PMD=∠BAC;當P、A重合時,易證得∠MAC=∠PDM,由于tan∠MAC=<tan∠B,所有∠MAC<∠B,即當D在BC延長線上時,∠PDM總小于∠B,所有△PDM和△ABC不會相似;
綜合兩種情況,可得出符合條件的x的值.
解答:解:(1)過P作PH⊥BC于H,則PH∥AC;
Rt△ABC中,AC=6,BC=8;則AB=10.
∵P為AB上動點可與A、B重合(與A重合BP為0,與B重合BP為10)
 但是x不能等于5.
∵當x=5時,P為AB中點,PM∥AC,得到PD∥BC,PD與BC無交點,與題目已知矛盾,所以x的取值范圍是,0≤x≤10 且x≠5,
易知△BPH∽△BAC,得:
,PH==x;
∴y=×4×x=x(0≤x≤10 且x≠5);

(2)當D在BC上時,
①∠PMB=∠B時,BP=PM,MH=BH=2;
MP=x,AB=10,MH=2,BC=8,
此時△MPD∽△BCA,
∴△MPD∽△MHP,
∴△MHP∽△BCA,

得:,解得;
②∠PMB=∠A時,△DPM∽△BCA,得:=,即DP•BA=DM•BC;
∴10x=4×8,解得x=;
當D在BC延長線上時,
由于∠PMD>∠B,所以只討論∠PDM=∠B的情況;
當P、A重合時,Rt△MPD中,AC⊥MD,則∠MAC=∠PDM,
∵tan∠MAC=,tanB=,tan∠MAC<tanB,
∴∠MAC<∠B,即∠PDM<∠B;
由于當P、A重合時,∠PDM最大,故當D在BC延長線上時,∠B>∠PDM;
所以△PDM和△ACB不可能相似;

綜上所述,存在符合條件的P點,且x=2.5或3.2.
點評:此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),需注意的是(2)題中,雖然當D在BC延長線上的情況不成立,但是一定要將這種情況考慮到,以免漏解.
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