Question

如圖甲，在中，為銳角，點為射線上一點，連接，以為一邊且在的右側作正方形．解答下列問題：

（1）如果，，
①當點在線段上時（與點不重合），如圖乙，線段之間的位置關系為    ，數量關系為           ．
②當點在線段的延長線時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果，，點在線段上運動．試探究：當滿足一個什么條件時，（點重合除外）？畫出圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）.

Answer 1

（1）①位置關系：互相垂直；數量關系：BD=CF；②成立；（2）∠ACB=45°

解析試題分析：（1）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
（1）線段之間的位置關系：互相垂直；數量關系：BD=CF；
②∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD與△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD ；
（2）當∠ACB=45°時可得CF⊥BC，理由如下：
過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G

則∵∠ACB=45°
∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF，
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠GAD=∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC.
考點：三角形全等的判定和直角三角形的判定
點評：判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．