Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為：（1，4）、（3，-2），在x軸上找一點(diǎn)P，使x軸平分∠APB．
（1）用圓規(guī)和直尺畫圖，找出P點(diǎn)的位置，保留作圖痕跡；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過點(diǎn)A，與x軸的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長交x軸于點(diǎn)P

（2）設(shè)以直線AB′為圖象的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）
∵點(diǎn)A、B′坐標(biāo)分別為：（1，4）、（3，2）將x、y的值分別代入以上函數(shù)關(guān)系式得，
，
解得，k=-1，b=5即函數(shù)解析式為：y=-x+5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；

（3）由題意知，只有∠PCQ=90°，
∵△COQ∽△POC，
∴OC²=QO•PO，
則OC²=3×5=15，OC=，
設(shè)拋物線方程為：y=a（x+3）（x-5），
∴y=a（x²-2x-15），
當(dāng)x=0時(shí)，y=OC=，
∴-15a=，
解得，a=±，
∴y=x²-x-或y=-x²+x+．
分析：（1）找出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，P是AB′與x軸交點(diǎn)；
（2）先求AP的一次函數(shù)解析式，再求當(dāng)y=0時(shí)x的值，即P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似求出OC的長度，再根據(jù)P點(diǎn)和與其對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)列出函數(shù)解析式，將OC代入求出自變量，即得到解析式．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合試題，其中滲透了對(duì)稱和直角三角形的性質(zhì)和三角形相似，在找C點(diǎn)時(shí)注意有兩種情況，所以函數(shù)解析式也有兩種．